上海安世亚太结构高级应用工程师
陈科夫
【资料图】
1.引言
工程结构中有很多构件可以看作杆件，即一个方向的尺寸远大于另外两个方向的尺寸。此类构件受压时即为压杆。对于大柔度杆，通常临界压应力小于弹性极限，即发生弹性失稳。
通常，我们会利用有限元法进行压杆的特征值屈曲分析。压杆的特征值屈曲分析属于线性分析。特征值屈曲分析得到的是屈曲载荷和相应的失稳模态，分析简单，计算速度快，在实际工程中应用大。
PERA SIM Mechanical是安世亚太自主开发的一款机械仿真分析软件，基于PERA SIM通用仿真软件架构，可以实现与流体、电磁、声学等物理场的耦合分析计算。PERA SIM Mechanical求解器可以完成如下分析功能：结构静力学分析、模态分析、瞬态动力学分析、谐响应分析、反应谱分析、屈曲分析、随机振动分析、热分析(稳态+瞬态)以及并行计算。
本文借助结构有限元软件中的屈曲分析模块完成了压杆特征值屈曲分析，展现了软件丰富的操作功能，并且与国际成熟软件的计算结果对比，验证了计算的准确性，为学者和工程师提供了特征值屈曲分析的一种新方法。
2.特征值屈曲分析方法简介
2.1 压杆失稳现象
让我们回忆一下几类关于平衡的概念：稳定平衡、不稳定平衡以及条件稳定平衡。
稳定平衡：凡能在被移动离开它的平衡位置后，仍试图恢复其原来位置，从而恢复到原来的平衡状态的物体，它原来的平衡状态叫“稳定平衡”。
不稳定平衡：处于平衡状态的物体，由于受到某种外界微小的作用，如果物体稍有偏离就不能恢复到原来的平衡状态，这种情况叫“不稳定平衡”。
条件稳定平衡：在一定条件下，可以实现稳定平衡；否则，则处于不稳定平衡。
构件的稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力。平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。因此，屈曲问题本质上是平衡性问题。一般的，如拉杆或内压圆筒，呈现稳定平衡；如压杆或外压圆筒，呈现条件平衡。
此处，特别讨论受压杆件的稳定性问题。受压应力作用的结构，当受到外界扰动时，随着压应力的增大，会突然丧失原有几何形状而失稳。对应的压应力为临界压应力，对应的载荷为临界载荷。扰动是普遍存在的，如材料不均匀缺陷，成形制造几何缺陷等。因此失稳(又称屈曲)对于受压应力的构件而言是内在的特性。为了防止屈曲失效，需确定结构的临界载荷或临界压应力，使实际载荷或压应力小于许用值。
当构件失稳时，一种内在的本质是原本沿截面厚度均匀分布的压应力，随着变形的增大跃变为弯曲应力，截面因抗弯能力不够而不能维持原有几何形状。
当结构的抗弯截面尺寸较小时，如细长的大柔度杆，薄壁圆筒等，失稳时截面的压应力往往低于材料的弹性极限，这种失稳称为弹性失稳。但当结构的抗弯截面尺寸较大时如大柔度杆，壁厚较厚的圆筒，失稳时截面的压应力往往高于材料的弹性极限出现塑性变形，这种失稳称为弹塑性失稳。
临界载荷或临界压应力的大小首先与抗弯刚度有关，对于弹性失稳，弹性模量越大，抗弯刚度越大，抗弹性失稳能力越强。
2.2 特征值屈曲分析
特征值屈曲分析预测了理想弹性结构的理论屈曲强度。该方法与教科书中的弹性屈曲分析方法相一致。欧拉柱的特征值屈曲分析与经典欧拉解相匹配。缺陷和非线性行为阻碍了大多数现实世界结构实现其理论弹性屈曲强度。因此，特征值屈曲通常产生非保守结果，因为它没有考虑到这些影响。
虽然特征值屈曲分析是非保守的，但与非线性屈曲解决方案相比，它具有计算成本低的优点，并且可以提供近似的(尽管是非保守的)屈曲条件预测。下图为屈曲的加载曲线(线性和非线性)。
图1 屈曲加载曲线(线性和非线性)
在特征值屈曲分析中，求解以下特征值问题，得到屈曲载荷乘子λi和屈曲模态ψi。在该解中，假设[K]和[S]矩阵为常数，即解是线性的。
其中，{ψi}为特征向量—屈曲模态；[S]为预应力刚度矩阵；λi为载荷乘子；[K]为结构刚度矩阵。
注意事项：
1）需要施加载荷，进行预应力计算，得到预应力刚度矩阵。
2）求矩阵的特征值，获取使行列式值为零的载荷乘子，即可得到临界载荷。
2.3 压杆稳定理论解
对于大柔度压杆，通常临界压应力小于弹性极限，发生弹性失稳。屈曲载荷可用欧拉公式求解。
，
μ—支撑系数，两端简支时取1.0；两端固支时取0.5；一端固支一端简支时取0.707。
3.压杆特征值屈曲分析案例
3.1 问题描述
图2为固定管板式换热器，换热管管束与壳程筒体均与两端管板固定式连接。由于管程与壳程介质温度不同，换热管束与壳程筒体自由热变形不同，变形协调使自由热膨胀量大的受压，自由热膨胀量小的受拉。当管程温度高、壳程温度低时，换热管轴向受压，壳程筒体轴向受拉。对于换热管而言，与管板连接位置可以认为是固支、与折流板接触位置可以认为是简支。
换热管尺寸为Φ25×2.5, a=800 mm，b=850 mm，c=500 mm，材料为S30408，弹性模量为2×105MPa，泊松比为0.3，求不同位置换热管的临界压应力。
图2 换热器结构图
该受力问题可以简化为如下有限元分析模型：
1）采用梁单元。
2）固定端，约束所有自由度；简支约束垂直轴线的位移以及绕轴线的转动。
3）两端均简支时一端约束轴向位移。
4）非轴向位移约束端施加轴向应力1 MPa的的集中力。(Fy=Π(Do2-Di2)/4)
下文通过PERA SIM Mechanical的屈曲分析模块完成压杆特征值屈曲分析，并将结果与某国际标准商业有限元软件进行对比。(以a=800mm为例)
3.2 PERA SIM结构有限元模块
打开PERA SIM Space工作台，进入软件启动界面。模型类型支持结构、电磁、声学等三大物理场，选择结构特征值屈曲分析，并创建新的模型。
图3 启动界面
3.3 压杆几何模型建立
PERA SIM提供了丰富的几何建模功能，可以完成线体、面体以及实体的几何建模。通过草图编辑、几何编辑等操作，可迅速完成压杆(线体)的建模。
图4 压杆几何模型
3.4 网格剖分
PERA SIM提供了丰富的网格剖分功能，对于压杆模型，通过控制网格尺寸(25mm)，即可完成线体网格划分，即生成梁单元。
3.5 材料创建
从材料库中选择结构钢材料，线弹性材料参数如下，杨氏模量：2E5，泊松比：0.3。完成材料创建。(图5)
图5 创建材料
3.6 截面定义
依次点击菜单栏>属性>创建截面，弹出对话框，类别选择梁，单元行为选择欧拉梁，接着点击轮廓右侧按钮，弹出横截面设置界面，设置形状：空心圆心，接着输入r=12.5mm，t=2mm，点击确定，完成横截面的创建。
图6 创建截面
3.7 属性赋值
属性赋值模块的功能是将所定义的材料及截面赋给特定的体。
图7 属性赋值
3.8 边界定义
设置线体两端节点为不同的边界条件。左侧节点，设置固定约束。右侧节点，设置平移/旋转uy= uz = 0。
图8 边界条件添加
3.9 载荷定义
定义载荷为集中力，选择右侧节点，设置FY=-144.5N，完成载荷的设置。
图9 载荷添加
3.10 计算结果分析
提交计算后，得到屈曲载荷乘子(1阶)415.751。屈曲模态(1阶)见图10。
图10 屈曲载荷乘子及屈曲模态(1阶)(PERA SIM结果)
图11为通过某国际标准商业有限元软件计算得到的屈曲载荷乘子及屈曲模态(1阶)，屈曲载荷乘子(1阶)415.448。这与PERA SIM计算结果非常接近。
图11 屈曲载荷乘子及屈曲模态(1阶)(标准商业软件结果)
3.11 不同压杆长度下的计算结果
考虑压杆长度L = 800、850、500mm下有限元特征值屈曲分析结果(包含PERA SIM、标准商业软件以及理论解)见表1。
表1 屈曲载荷乘子结果
由上面结果可知，PERA SIM计算结果与某国际标准商业有限元软件结果对标，屈曲载荷乘子误差普遍较小(1.5%以内)。因此，PERA SIM的计算可靠性可以保证。
4.结论
本文基于安世亚太自主结构有限元软件PERA SIM Mechanical屈曲分析模块计算压杆特征值屈曲，实现了几何建模、网格划分、材料赋予、载荷及边界条件设置、特征值求解到结果后处理的完整分析流程。同时，在相同的边界和求解参数的条件下，与某国际标准商业有限元软件计算结果对比，发现PERA SIM的临界载荷的误差普遍较小(1.5%以内)，能保证较高的计算精度。
关键词：
